Volladdierer - Boolsche Algebra

[Victor]

Guten Tag,

beschäftige mich gerade mit den Volladdierern.
Die Funktionsweise habe ich soweit verstanden und die
Schaltbedingungen für "Summenausgang" S und "Übertrag" C
nachvollzogen.

Was ich nicht ganz nachvollziehen kann ist die Boolsche Umformung
der Schaltbedingungen: S und C.

- steht für nicht
+ steht für Exclusives oder
(tut mir leid für die komische Schreibweise)

// Summenausgang
S = -A-BC + -AB-C + A-B-C + ABC

Mit der Karnaugh-Tabelle kann der Ausdruck nicht vereinfacht werden, da man nichts blocken kann.
Durch die Boolsche Umformung hat man aber folgendes rausbekommen:

S = A+B+C (A oder B oder C)

Kann mir Jemand zeigen, wie man darauf kommt?

[Stampede]

Hi Viktor,

beschäftige mich gerade mit den Volladdierern.

Was soll man dazu sagen 

Kann mir Jemand zeigen, wie man darauf kommt?

Im Studium paar mal gemacht, kann mich aber kaum noch erinnern.
Du musst prizipiell gesehen, die Formel

Code:

S = -A-BC + -AB-C + A-B-C + ABC

mit den Gesetzen http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Definition
(v.a. DeMorgan und Idempotenz) so lange verwursten, bis irgendwann die disjunktive Normalform heraus kommt.
http://de.wikipedia.org/wiki/Disjunktive_Normalform

Viel Spass beim Umformen!

Gruß
Stefan

[kirk]

Eben habe ich per Zufall Ihre Frage gelesen - ich möchte da wie folgt antworten:

Eine ODER-Verknüpfung der drei Eingangsvariablen A0,B0,C0, kann niemals die algebraische Summe darstellen.
Grundsätzlich besteht ein Volladdierer aus zwei kaskadierten Halbaddierern, deren Überträge ODER verknüpft sind.
Ein Halbadierer wiederum besteht aus einem XOR-Gatter, zur Bildung der Summe und einem UND-Gatter zur Bildung des Übertrags. Das lässt sich leicht aus der Wahrheitstabelle ablesen.


A0   B0   Carry0    Sum0   Carry1

0      0         0            0           0
0      0         1            1           0
0      1         0            1           0
0      1         1            0           1

1      0         0            1           0
1      0         1            0           1
1      1         0            0           1
1      1         1            1           1

Sum0 zeigt in den ersten vier Zeilen das Verhalten eines XOR-Gatters und Carry1 das eines UND-Gatters.
Die weiteren vier Zeilen zeigen für Sum0 und Carry 1 exakt eine Inversion der ersten vier Zeilen, was mit Hilfe eines  weiteren XOR-Gatters, das durch die Variable Carry0 umgeschaltet wird. Dieses Verhalten der Inversionsfunktion eines XOR-Gatters wird zur Inversion eines Operanden verwendet (Einserkomplement) um mit einem Addierwerk mit Hilfe des Zweierkomplements die Subtraktion zu erzeugen.

Zum Gesetz von De Morgen:

Hier wird die Umwandlung von AND in OR-Gatter und vice versa erreicht, indem man alle Ein- und Ausgänge negiert. Man benötigt daher nur mehr eine Gattung von logischen Elementen zur Konstruktion beliebiger digitaler Schaltwerke und zwar NAND oder NOR, da diese Gatter jeweils zu Invertern umgebaut werden können, indem man ihre Eingänge miteinander verbindet.

Wendet man aber die Boolsche Algebra  auf Ihre Eingangsfunktion

      Sum = (~A . ~B . C) + (~A . B . ~C) + (A . ~B . ~C) + ( A . B . C)

an, dann ergibt das NICHT   (A + B + C)  ( ~ bedeutet NICHT, + bedeutet ODER, . bedeutet UND).

Eine algebraische Summe aus drei Variablen wird 0 und liefert einen Übertrag, wenn zwei der Variablen logisch "1" sind.
Diese Funktion lässt die ODER-Verknüpfung von A,B und C vermissen.

De Morgan:   (A + B + C) = ~ (~A . ~B . ~C)   ... diese Funktion ist nur dann "0", wenn A, B und C  "0" sind , sonst "1".

Also: Bitte zuerst nachdenken und rechnen und erst dann eine Behauptung aufstellen.


mfg
kirk

[Stampede]

Hi Kirk,

danke fuer die Erklaerung. Ich haette mir jetzt nicht die Muehe gemacht mich mit dem Zeug nochmals zu beschaeftigen.

Bitte zuerst nachdenken und rechnen und erst dann eine Behauptung aufstellen.

Das galt ja hoffentlich nicht mir

Gruss,
Stefan